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欧拉恒等式 e^(iπ)+1=0 的严谨证明

欧拉恒等式,即 $e^{i\pi}+1=0$,
被称为“最奇妙的数学公式”,
因为它把 5 个最基本的数学常数简洁地连系起来

下面给出关于欧拉恒等式我最喜欢的一种证明.


引入

相信大家都知道复数有三种基本表达形式:

  • 坐标:$z = a + b\cdot i$
  • 三角:$z = r(\cos\theta+i\sin\theta)$
  • 指数:$z = r\cdot e^{i\theta}$

我们把复数 $z$ 的指数形式和三角形式写在一起,得:

该公式即为欧拉公式,我们令 $\theta=\pi$,便得到了大名鼎鼎的欧拉恒等式

我们尝试证明.


证明

考虑单位复数:$z=\cos x+i\sin x$

求导得:$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}=i\cos x-\sin x=i\cdot z$

因此:$\frac{\mathrm{d}z}{z}=i\cdot\mathrm{d}x$

两边积分得:$\int\frac{\mathrm{d}z}{z}=i\int\mathrm{d}x$

即:$\ln z=ix+\mathrm{C}$ ($\mathrm{C}$ 为常数)

下面我们尝试解出 $\mathrm{C}$.

令 $x=0$,则 $z=\cos0+i\sin0=1$

$\ln1=i\cdot0+\mathrm{C}$

则 $\mathrm{C}=0$,$\ln z=ix$

则 $e^{\ln z}=e^{ix}$,又有 $e^{\ln z}=z=\cos x+i\sin x$

故:

令 $x=\pi$ 可得:$e^{i\pi}+1=0$.

证毕.