欧拉恒等式 e^(iπ)+1=0 的娱乐性证明

数学

欧拉恒等式,即 $e^{i\pi}+1=0$,
被称为“最奇妙的数学公式”,
因为它把 5 个最基本的数学常数简洁地连系起来

以下为通过数形结合和复平面的手段证明欧拉恒等式的方法

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注意:由于是娱乐性证明,文中内容有不妥的地方

要严谨的证明,请见以下链接:

欧拉恒等式 e^(iπ)+1=0 的严谨证明https://blog.xecades.xyz/articles/EulerIdentity

看到这个公式,我们自然想到 $e^t$ 的导数就是其本身的性质,即:

这个性质的证明我也不必多说了


$e^t$

假如有一个点向数轴的正方向直线运动,且用 $e^t$ 描述该点在数轴上的位置

那么,该点的初始位置 ($t=0$) 为数轴上为 1 的点

由于其导数为 $e^t$,就说明该点在 $e^t$ 位置上的速度为 $e^t$

显然随着 t 的增大,该点越来越远离初始位置,不会回到原位置


$e^{2t}$

假如该点以 $e^{2t}$ 的速度前进

因为 $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}e^{2t}=2e^{2t}$

这说明该点在 $e^{2t}$ 的位置上速度为 $2e^{2t}$,速度永远为坐标的两倍

显然,该点是不可能回到初始位置 1 的


$e^{-0.5t}$

我们再来看看负数:$e^{-0.5t}$

有 $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}e^{-0.5t}=-0.5e^{-0.5t}$

说明其速度永远是坐标的 -0.5 倍,起始点为 1

该点会向着负方向运动,速度无限趋近于零,其坐标也无限趋近于零


复数呢?

若 t 乘的是正数,说明该点向着正方向运动,若 t 乘的是负数,说明该点向负方向运动

那 t 乘的是单位复数 i 呢?

说明该点向着垂直数轴的方向运动

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注意:此处即为不妥的地方,但它的确可以证明

此时,单单一个数轴就不够用了,我们把数轴搬到复平面上.

$t=0$ 时,该点位于 $1+0\cdot i$,速度方向竖直向上,为 1.

容易得到,速度方向始终与该点和原点的连线垂直,大小 (模长) 始终为 1

“该点和原点的连线”运动,构成一个单位圆

这说明,其速度式量始终与该单位圆相切,模长始终为 1

你想到了什么?

匀速圆周运动

线速度为 1,单位圆周长为 $2\pi$,说明:

  1. 当 $t=\pi$ 时,该点转过半圈,到达 $-1+0\cdot i$
  2. 当 $t=2\pi$ 时,该点转过一周,回到起点 $1+0\cdot i$

所以!

由 1 得出:$e^{i\cdot\pi}=-1$,也就是欧拉恒等式

由 2 得出:$e^{2i\cdot\pi}=e^{i\cdot\tau}=1$

而且,我们可以根据这个方法求出对于 $\forall t$,$e^{i\cdot t}$ 的值


的确挺娱乐的~

本文作者:Xecades

本文链接:https://blog.xecades.xyz/articles/EulerIdentityEntertain/

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