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豪斯多夫维度

研究性学习需要,我学了一下豪斯多夫维度

豪斯多夫维数 (Hausdorff Dimension) 由数学家豪斯多夫于 1918 年引入.
通过豪斯多夫维数可以定义任意度量空间的子集之维数,包括像是分形等复杂的集合.
其值可能会是一个非整的有理数或者无理数


引入

我们生活在三维空间,整天却盯着处于处于“二维”空间的作业单发愁(当然作业单也是三维的,二维只是戏称)

作业单上写着数域的扩充:

  • 上帝说,要有光,于是有了正整数
  • 被视为无意义的 0 被重拾起,于是有了非负整数
  • “今两算得失相反,要令正负以名之”,三国时期学者刘徽提出了负数的概念,有了整数
  • 刘徽在解决数学问题时使用了“微数”,即小数,后经多次演变,数域扩充为有理数
  • 人们发现 $\sqrt 3$ 无法表示为任何一个分数,数域扩充为实数
  • 求方程根的时候,出现根号下为负的情况,数域扩充为复数

我们不禁联想,为什么维度一定是整数呢?来个 $3.1415916$ 维多好啊!

我们看一个图:

长得还挺别致嘛!

好的,我告诉你,它不是二维,更不是三维.

它是 $\log_34$ 维!


$\sigma$-代数

前面的 $\sigma$ 是 $\Sigma$ 的小写

根据我的理解,它可以定义如下

对于 $\forall$ 集合 $X$,设它的子集为 $A_1,A_2\dots A_n$,即:

其中,$\bigcup$ 表示把符合条件的集合并起来,类似于 $\Sigma$

$\sigma$-代数是 $X$ 的幂集的子集合,何为幂集呢?幂集就是 $X$ 的所有子集的集合,这也说明,它的集合元素也是个集合

$\sigma$-代数有如下性质(记$\sigma$-代数为$F$,$X$ 的幂集为 $P(x)$)

  1. $X\in F$
  2. 对于 $\forall T\subseteq X$, 有 $T\in F$
  3. 对于 $\forall T\in F$, 有 $\complement_XT\in F$
  4. 若 $A_1,A_2\dots A_n\in F(n \in \mathbb{N})$ , 则 $\bigcup_{i=1}^nA_i\in F$

该 $F$ 就是 $\sigma$-代数

举个栗子

$\sigma$-代数是盯着一个集合 $X$ 看的,我们举 $X=${$114,5,14$}

它的子集为 {$114$}$,${$5$}$,${$14$}$,${$114,5$}$,${$114,14$}$,${$5,14$}$,${$114,5,14$},慢着,还有我们可爱的 $\varnothing$ 呢

所以,该集合的 $\sigma$-代数为 {$\varnothing,${$114$}$,${$5$}$,${$14$}$,${$114,5$}$,${$114,14$}$,${$5,14$}$,${$114,5,14$}}


测度

注意,以下内容仅代表个人理解

数学上,测度 (measure) 是一个函数,它对一个给定集合的某些子集指定一个数,
这个数可以比作大小、体积、概率等等.

传统的积分在区间上进行,后来人们希望把积分推广到任意的集合上,就发展出了测度的概念.

对于集合 $X$,若集合 $A$ 是 $X$ 的 $\sigma$-代数,测度 $\mu$ 是定义在 $A$ 上的函数,其定义域为 $[0,\infty)$

严格讲,这种 $\mu$ 是可数可加正测度

它有如下性质:

  1. 非负性,对于 $\forall E\in A$,有 $\mu(E)\geq0$
  2. 空集合的测度为零,$\mu(\varnothing)=0$
  3. 可数可加性($\sigma$-可加性),对于 $\forall E_i, E_j\in A(i\neq j)$,且 $E_i\cap E_j=\varnothing$,有:

(别被吓到了,这还是比较好理解的)

通俗的说,测度把每个集合映射到非负实数来规定这个集合的大小:空集的测度是0;集合变大时测度至少不会减小(因为要加上变大的部分的测度,而那一部分的测度是非负的)

例如:


豪斯多夫维度

我们常用的维度法则为拓扑维度,维度数为整数,而豪斯多夫维度允许维度数为小数乃至无理数.

由此可见前文略有疏漏,从拓扑维度的角度看,该图形是二维的,但从豪斯多夫维度看,它是 $\log_34$ 维的.


表达式

知识所限,豪斯多夫维度的严谨表达式看不懂,以下为我的通俗理解

豪斯多夫维度的测量方法是看测度缩放系数之间的关系

所谓测度,就是体积、面积、长度等属性

例如,线段放大两倍,其缩放系数为 2,测度(此时是长度)为 2,其豪斯多夫维就是 $\log_22=1$ 维

再如,正方形放大两倍,缩放系数为 2,测度(面积)为 4,豪斯多夫维为 $\log_24=2$

正方体同理,由此可见,他们的豪斯多夫维度和拓扑维度相等,都为 $\log_{缩放系数}测度$.


例如 Koch 曲线

科赫曲线,其迭代规则见我的另一篇博客

显然,对其测度属性的选择,我们选”长度”

一条长度为 $x$ 的线段经过科赫曲线的规则处理,形成 4 条长度为 $\frac{x}{3}$ 的线段,故缩放系数为 3,测度为 4

其豪斯多夫维度就为 $\log_34$


引用

Reference:


目前我对豪斯多夫维度的认识还是比较肤浅,希望能够理解那些我看不懂的内容.