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一个有趣的数学问题的证明

对 $\forall n\in N^*$,试证:

我们要先知道如下两个引理:

引理一

对于 $\forall$ 单位复数 $z$,有:

构建单位圆,作辅助线如图:

其中 $H$ 为 $AB$ 的中点,$z$ 为 $\overrightarrow{OB}$ 对应的单位复数.

那么,我们可以用 $|z-1|$ 来表示复数 $z$ 对应的点和复数 $1+0i$ 对应的点的距离,在图中表示为 $|AB|$,即:

稍作计算:

其中 $\theta$ 表示复数 $z$ 的辐角.

因此我们得到:


引理二

若用 $\varepsilon^0,\varepsilon^1\cdots,\varepsilon^{n-1}$ 表示复数域上的方程 $x^n-1=0$ 的 $n$ 个根,则有:

此处使用 $\varepsilon^k$ 来表示 $x^n-1=0$ 的根的方法,属于单位负数根模型,后面也会用到这个模型的一些性质,如果对单位负数根模型不了解,可以查看这个简短的介绍:

复数笔记 https://blog.xecades.xyz/articles/AcademicSubject/

这个引理的证明过程是显然的,因为:

又有:

显然 $x=1$ 不是 $1+x+\cdots+x^{n-2}+x^{n-1}=0$ 的根,对比 $(1)$ 和 $(2)$ 可得:

也就是:


证明

对 $\forall n\in N^*$,试证:

下面我们开始证明这个命题.

在引理二中,令 $x=1$:

又因为复数 $1-\varepsilon^k$($k=1..n-1$) 的辐角之和为 $0$(请读者自证),故它们的乘积为它们模长的乘积,即:

根据引理一和单位复数根模型的性质,可以推出:

稍作整理:

证毕.