圆面场强公式的积分推算

数学

如图,真空中均匀带电且单位面积带电量为 $\sigma$ 的圆面垂直穿过直线 l,其半径为 R,圆面与直线恰为圆心. 直线 l 上距离圆心 x 距离处有一点 P. 试求 P 点处的场强大小.


对组成圆面的每一个圆积分,设小圆半径为 r,设 $r = x\tan\theta$.

圆上每个点与 P 点的距离为 $\sqrt{x^2+r^2}$,则每个点在 P 点处的场强为:

方向斜向右下,根据对称性,圆上的场强矢量和在直线 l 上.

正交分解可得,每个点在水平方向上对场强的贡献为:

那么,圆整体对 P 点的场强为:

对其积分:

整理可得:

易得:

根据牛顿 - 莱布尼茨公式得:

done.

本文作者:Xecades

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