Xecades' Neverland

「离散傅里叶变换」和「离散傅里叶反变换」

离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）和离散傅里叶反变换（Inverse Discrete Fourier Transform, IDFT） 是鼎鼎大名的快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）的前置知识.

其中 FFT 用于加速两个多项式 $A(x)$、$B(x)$ 的乘积 $C(x)$ 的计算，DFT 和 IDFT 是 FFT 的两个中间步骤.

使用复数方法寻找凸多边形的费马点

费马点（Fermat’s point）又称托里切利点（Torricelli’s Point），
费马点 $O$ 是位于凸多边形内的一个点，
它满足到各顶点距离之和最小，
这样的点是存在且唯一的.

定理如下：

对于任意 $n$ 边形，其顶点为 $A_1..A_n$，
取 $O$ 点满足 $\angle A_1OA_2=\angle A_2OA_3=\cdots=\dfrac{2\pi}{n}$
那么对于任意点 $P$，有：

$$\boxed{\sum_{k=1}^{n}|PA_k|\geq\sum_{k=1}^{n}|OA_k|}$$

实际上这里的 $O$ 点就是费马点.

下面对该定理进行证明.