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使用复数方法寻找凸多边形的费马点

费马点(Fermat’s point)又称托里切利点(Torricelli’s Point),
费马点 $O$ 是位于凸多边形内的一个点,
它满足到各顶点距离之和最小,
这样的点是存在且唯一的.

定理如下:

对于任意 $n$ 边形,其顶点为 $A_1..A_n$,
取 $O$ 点满足 $\angle A_1OA_2=\angle A_2OA_3=\cdots=\frac{2\pi}{n}$
那么对于任意点 $P$,有:

实际上这里的 $O$ 点就是费马点.

下面对该定理进行证明.


注意到 $\overrightarrow{OA_k}$ 是把 $2\pi$ 均分的,联想到单位复数根模型,考虑把 $\overrightarrow{OA_k}$ 进行旋转变换.

记向量 $\overrightarrow{OA_k}$ 对应的复数为 $a_k$.

记向量 $\overrightarrow{OP}$ 对应的复数为 $z$.

记 $\varepsilon^k\space (k\in[0,n-1])$ 为 $x^n-1=0$ 在复数域上的第 $k$ 个根.

显然,对于每个 $a_k$,一定可以找到唯一的一个 $\varepsilon^t$,使得 $a_k\cdot\varepsilon^t$ 为实数.

因为 $a_k$ 是无序的,不妨假设这里的 $t$ 就是 $k$.

可以得到:

由式 $(1)$ 和式 $(2)$ 得:$\mathrm{LHS}\geq\mathrm{RHS}$,即:

证毕.