使用复数方法寻找凸多边形的费马点

费马点（Fermat’s point）又称托里切利点（Torricelli’s Point），
费马点 $O$ 是位于凸多边形内的一个点，
它满足到各顶点距离之和最小，
这样的点是存在且唯一的.

定理如下：

对于任意 $n$ 边形，其顶点为 $A_1..A_n$，
取 $O$ 点满足 $\angle A_1OA_2=\angle A_2OA_3=\cdots=\dfrac{2\pi}{n}$
那么对于任意点 $P$，有：

$$\boxed{\sum_{k=1}^{n}|PA_k|\geq\sum_{k=1}^{n}|OA_k|}$$

实际上这里的 $O$ 点就是费马点.

下面对该定理进行证明.

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注意到 $\overrightarrow{OA_k}$ 是把 $2\pi$ 均分的，联想到单位复数根模型，考虑把 $\overrightarrow{OA_k}$ 进行旋转变换.

记向量 $\overrightarrow{OA_k}$ 对应的复数为 $a_k$.

记向量 $\overrightarrow{OP}$ 对应的复数为 $z$.

记 $\varepsilon^k\space (k\in[0,n-1])$ 为 $x^n-1=0$ 在复数域上的第 $k$ 个根.

显然，对于每个 $a_k$，一定可以找到唯一的一个 $\varepsilon^t$，使得 $a_k\cdot\varepsilon^t$ 为实数.

因为 $a_k$ 是无序的，不妨假设这里的 $t$ 就是 $k$.

可以得到：

$$\begin{align*} \mathrm{RHS} &= \sum|OA_k|\\ &= \sum|a_k|\\ &= \sum|a_k\varepsilon^k| &(\text{因为 }|\varepsilon^k|=1)\\ &= |\sum a_k\varepsilon^k| &(\text{因为 }a_k\cdot\varepsilon^k\in\mathbb{R}) \end{align*}\tag{1}$$

和

$$\begin{align*} \mathrm{LHS} &= \sum|PA_k|\\ &= \sum|a_k-z|\\ &= \sum|(a_k-z)\cdot\varepsilon^k|\\ &\geq |\sum(a_k-z)\cdot\varepsilon^k|\\ &= |\sum a_k\varepsilon^k-\sum z\varepsilon^k|\\ &= |\sum a_k\varepsilon^k| &(\text{因为 }\sum\varepsilon^k=0)\\ &= \mathrm{RHS} \end{align*}\tag{2}$$

由式 $(1)$ 和式 $(2)$ 得：$\mathrm{LHS}\geq\mathrm{RHS}$，即：

$$\boxed{\sum_{k=1}^{n}|PA_k|\geq\sum_{k=1}^{n}|OA_k|}$$

证毕.