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题解 P3386 [二分图匹配]

2019-08-09
题目来源 P3386https://www.luogu.com.cn/problemnew/show/P3386

解答

二分图（通俗解释）：

一个图，它可以分成两部分，使得每个部分内部没有边相连，而这两部分相互有边相连，此图称为二分图。

这就是一个标准的二分图，两个用黄色框框起来的部分中的点相互没有连线。

引子

想一下坐板凳的问题：

有 $n$ 个人，$m$ 个板凳，每个人只能坐给定的某些板凳，那么，怎么让最多的人坐在板凳上呢？

显然的是，一个板凳上只能有 $1$ 个人。

那么，不妨把人看成一个集合（点集），板凳看成另一个集合，这两个集合内部是显然不会相连的（比如人不能坐在人上，板凳不能坐在板凳上）。

因此很容易就会想到用二分图来做。

对应关系：某个人坐某个座位。

以下是没有优化的伪代码：

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bool sit(a):// 让a号人来抢位置

// 把后面看完看这个判断
// 赶走的人编号为0
// 要抢位置的人找到位置
IF a==0
    return true
for i=1 to n// 枚举每个板凳
{
    IF d[a][i]==true// 如果a号人可以坐在i号板凳
    {

        // a号人先赶走i号板凳上的人
        // 此处如果i号板凳本来就没人
        // 赶走的人的编号就是默认的0
        // 现在可以回去看前面的IF a==0了
        // 待原来的人找不到板凳再还回去

        t=seat[i]       // 把原来的人存着备份，以便归还
        seat[i]=a       // 我抢~
        IF sit(t)==true // 如果喊走的人找到了位置
            return true;
        seat[i]=t;      // 喊走的人没找到位置，只好还回去了
    }
}
return false// a没板凳坐了（泪目）

时间复杂度优化

每次调用 sit() 函数的时候，$a$ 都会从头到尾判断哪个座位能坐，哪个又不能坐，有重复。

想到用一个 $bool$ 二维数组 used 来存储 $a$ 是否找过这个点，$true$ 为找过，$false$ 为没找过。

空间复杂度优化

注意到每次都会尝试给不一样的 $a$ 安座位，而每次都只针对 $a$ 这一个人来操作，所以数组可以由二维降到一维，每次在 main 中调用 sit() 的时候清空即可。

因此我们得出以下优化的代码：

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bool sit(a):

IF a==0
    return true
for i=1 to n
{
    IF d[a][i]==1 and used[i]==false
    // a号人可以坐在i号座位，并且当前座位没尝试过
    {
        t=seat[i]
        seat[i]=a
        used[i]=true// 标记尝试过这个座位了
        IF sit(t)==true
            return true;
        seat[i]=t;
    }
}
return false

调用入口：

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for i=1 to n
{
    清空 used
    IF sit(i)
        ans++;
}

这样 $ans$ 就是我们要的最大匹配数，如果要求匹配方法，每次记录 used 就好了。

代码

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#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
using namespace std;

int n, m, edgenum, ans = 0;
bool dis[1010][1010] = {false}; // d数组，邻接矩阵
bool vis[1010] = {true};        // used数组
int seat[1010] = {0};           // 标记座位上坐了哪个人

bool sit(int);

int main()
{
    cin >> n >> m >> edgenum;
    for (int i = 1; i <= edgenum; i++)
    {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        if (u > n || v > m) // 毒瘤数据直接爆破
            continue;
        dis[u][v] = true;
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        memset(vis, true, sizeof(vis));
        if (sit(i))
            ans++;
    }
    cout << ans;
    return 0;
}
bool sit(int a)
{
    if (a == 0)
        return true;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        if (dis[i][a] && vis[i])
        {
            int t = seat[i];
            seat[i] = a;
            vis[i] = false;
            if (sit(t))
                return true;
            seat[i] = t;
        }
    }
    return false;
}

本文作者：Xecades

本文链接：https://blog.xecades.xyz/drafts/solution-p3386.html

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更新于 2024-05-24

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