豪斯多夫维度

研究性学习需要，我学了一下豪斯多夫维度

豪斯多夫维数 (Hausdorff Dimension) 由数学家豪斯多夫于 1918 年引入.
通过豪斯多夫维数可以定义任意度量空间的子集之维数，包括像是分形等复杂的集合.
其值可能会是一个非整的有理数或者无理数

引入

我们看一个图：

长得还挺别致嘛！

好的，我告诉你，它不是二维，更不是三维.

它是 $\log_34$ 维！

$\sigma$-代数

By the way，前面的 $\sigma$ 是 $\Sigma$ 的小写

根据我的理解，它可以定义如下

对于 $\forall$ 集合 $X$，设它的子集为 $A_1,A_2\dots A_n$，即：

$\bigcup_{i=1}^{n}A_i=X$

其中，$\bigcup$ 表示把符合条件的集合并起来，类似于 $\Sigma$

$\sigma$-代数是 $X$ 的幂集的子集合，何为幂集呢？幂集就是 $X$ 的所有子集的集合，这也说明，它的集合元素也是个集合

$\sigma$-代数有如下性质（记$\sigma$-代数为$F$，$X$ 的幂集为 $P(x)$）

$X\in F$
对于 $\forall T\subseteq X$, 有 $T\in F$
对于 $\forall T\in F$, 有 $\complement_XT\in F$
若 $A_1,A_2\dots A_n\in F(n \in \mathbb{N})$ , 则 $\bigcup_{i=1}^nA_i\in F$

该 $F$ 就是 $\sigma$-代数

举个栗子

$\sigma$-代数是盯着一个集合 $X$ 看的，我们举 $X=${$114,5,14$}

它的子集为 {$114$}$,${$5$}$,${$14$}$,${$114,5$}$,${$114,14$}$,${$5,14$}$,${$114,5,14$}，慢着，还有我们可爱的 $\varnothing$ 呢

所以，该集合的 $\sigma$-代数为 {$\varnothing,${$114$}$,${$5$}$,${$14$}$,${$114,5$}$,${$114,14$}$,${$5,14$}$,${$114,5,14$}}

测度

warning
注意，以下内容仅代表个人理解

数学上，测度 (measure) 是一个函数，它对一个给定集合的某些子集指定一个数，
这个数可以比作大小、体积、概率等等.

传统的积分在区间上进行，后来人们希望把积分推广到任意的集合上，就发展出了测度的概念.

对于集合 $X$，若集合 $A$ 是 $X$ 的 $\sigma$-代数，测度 $\mu$ 是定义在 $A$ 上的函数，其定义域为 $[0,\infty)$

info
严格讲，这种 $\mu$ 是可数可加的正测度

它有如下性质：

非负性，对于 $\forall E\in A$，有 $\mu(E)\geq0$
空集合的测度为零，$\mu(\varnothing)=0$
可数可加性($\sigma$-可加性)，对于 $\forall E_i, E_j\in A(i\neq j)$，且 $E_i\cap E_j=\varnothing$，有:

$\mu(\bigcup_{i=1}^\infty E_i)=\sum_{i=1}^\infty\mu(E_i)$

（别被吓到了，这还是比较好理解的）

通俗的说，测度把每个集合映射到非负实数来规定这个集合的大小：空集的测度是0；集合变大时测度至少不会减小（因为要加上变大的部分的测度，而那一部分的测度是非负的）

例如：