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另一种计算 π 的方法

可以证明:

也就是说一共有 $n+1$ 个根号。注意最外层根号里是减号,最内层为 $\sqrt{3}$.

随着 $n$ 的增加,计算值越来越接近真实值:


推导

我们考虑一个单位圆 $O$,它的半径 $r=1$,其周长 $C=2\pi$.

在其中作等腰三角形 $OAB$,因此有 $\alpha=60^\circ$.

此时,$\overset{\frown}{AB}$ 可近似看为 $AB$.

则:


对于 $\overset{\frown}{AB}$,我们作 $\angle AOB$ 的角平分线 $OC$,与 $\odot O$ 交于 $C$ 点.

此时,有 $\alpha_1=\frac{\alpha}{2}=30^\circ$.

将 $\overset{\frown}{AB}$ 近似看为 $AC+CB$.

则:


以此类推,可以对 $\alpha_1$ 继续分割.

得到 $\alpha_2=\frac{\alpha}{2^2}=15^\circ$.

则:


按照这样的方法,一直进行分割,估算的 $C$ 值也越来越接近 $2\pi$,故有:

但是,用 $\sin$ 来表示 $\pi$ 显然是不妥的,我们需要找到普通方法吧 $\sin\frac{\alpha}{2^n}$ 展开(当然不是泰勒展开).


我们都知道二倍角公式:

变一下形:

考虑数列:

显然,$a_n$ 满足如下递推关系:

这样,$a_n$ 的表达式中就不包含任何三角函数了,可以用来计算 $\pi$.

则:

那么:

把 $a_n$ 展开,也就得到本文开头的式子: