另一种计算 π 的方法

可以证明:

$$\pi=\lim_{n\rightarrow\infty}3\times2^n\cdot\underbrace{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}}_{共 n 个 2}$$

也就是说一共有 $n+1$ 个根号。注意最外层根号里是减号，最内层为 $\sqrt{3}$.

随着 $n$ 的增加，计算值越来越接近真实值：

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推导

我们考虑一个单位圆 $O$，它的半径 $r=1$，其周长 $C=2\pi$.

在其中作等腰三角形 $OAB$，因此有 $\alpha=60^\circ$.

此时，$\overset{\frown}{AB}$ 可近似看为 $AB$.

则：

$$\begin{align*} \pi&=3\cdot\overset{\frown}{AB}\\ &\approx3\cdot AB\\ &=3\cdot(2\cdot AO\cdot\sin\dfrac{\alpha}{2})\\ &=3\times2\cdot\sin\dfrac{\alpha}{2} \end{align*}$$

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对于 $\overset{\frown}{AB}$，我们作 $\angle AOB$ 的角平分线 $OC$，与 $\odot O$ 交于 $C$ 点.

此时，有 $\alpha_1=\dfrac{\alpha}{2}=30^\circ$.

将 $\overset{\frown}{AB}$ 近似看为 $AC+CB$.

则：

$$\begin{align*} \pi&=3\cdot\overset{\frown}{AB}\\ &\approx3\cdot(AC+CB)\\ &=3\times2\cdot AC\\ &=3\times2\cdot(2\cdot AO\cdot\sin\dfrac{\alpha_1}{2})\\ &=3\times2^2\cdot\sin\dfrac{\alpha}{2^2} \end{align*}$$

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以此类推，可以对 $\alpha_1$ 继续分割.

得到 $\alpha_2=\dfrac{\alpha}{2^2}=15^\circ$.

则：

$$\pi\approx3\times2^3\cdot\sin\dfrac{\alpha}{2^3}$$

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按照这样的方法，一直进行分割，估算的 $C$ 值也越来越接近 $2\pi$，故有：

$$\pi=\lim_{n\rightarrow\infty}3\times2^n\cdot\sin\dfrac{\alpha}{2^n}$$

但是，用 $\sin$ 来表示 $\pi$ 显然是不妥的，我们需要找到普通方法吧 $\sin\dfrac{\alpha}{2^n}$ 展开（当然不是泰勒展开）.

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我们都知道二倍角公式：

$$\cos2\theta=2\cos^2\theta-1$$

变一下形：

$$2\cos\dfrac{\theta}{2}=\sqrt{2+2\cos\theta}$$

考虑数列：

$$\begin{align*} a_0&=2\cos\alpha=\sqrt{3}\\ a_1&=2\cos\dfrac{\alpha}{2}\\ &\vdots\\ a_n&=2\cos\dfrac{\alpha}{2^n} \end{align*}$$

显然，$a_n$ 满足如下递推关系：

$$\left\{\begin{align*} &a_0=\sqrt{3}\\ &a_n=\sqrt{2+a_{n-1}} \end{align*}\right.$$

这样，$a_n$ 的表达式中就不包含任何三角函数了，可以用来计算 $\pi$.

则：

$$2\sin\dfrac{\alpha}{2^n}=2\cdot\sqrt{1-\cos^2\dfrac{\alpha}{2^n}}=2\cdot\sqrt{1-\dfrac{a_n^2}{4}}=\sqrt{4-a_n^2}=\sqrt{2-a_{n-1}}$$

那么：

$$\begin{align*} \pi&=\lim_{n\rightarrow\infty}3\times2^n\cdot\sin\dfrac{\alpha}{2^n}\\ &=\lim_{n\rightarrow\infty}3\times2^{n-1}\cdot2\sin\dfrac{\alpha}{2^n}\\ &=\lim_{n\rightarrow\infty}3\times2^{n-1}\cdot\sqrt{2-a_{n-1}}\\ &=\lim_{n\rightarrow\infty}3\times2^n\cdot\sqrt{2-a_n} \end{align*}$$

把 $a_n$ 展开，也就得到本文开头的式子：

$$\pi=\lim_{n\rightarrow\infty}3\times2^n\cdot\underbrace{\sqrt{2-\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}}_{共 n 个 2}$$