凛冬散尽,星河长明。

「离散傅里叶变换」和「离散傅里叶反变换」

离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform, DFT)和离散傅里叶反变换(Inverse Discrete Fourier Transform, IDFT) 是鼎鼎大名的快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform, FFT)的前置知识.

其中 FFT 用于加速两个多项式 $A(x)$、$B(x)$ 的乘积 $C(x)$ 的计算,DFT 和 IDFT 是 FFT 的两个中间步骤.

「离散傅里叶变换」和「离散傅里叶反变换」

使用复数方法寻找凸多边形的费马点

费马点(Fermat’s point)又称托里切利点(Torricelli’s Point),
费马点 $O$ 是位于凸多边形内的一个点,
它满足到各顶点距离之和最小,
这样的点是存在且唯一的.

定理如下:

对于任意 $n$ 边形,其顶点为 $A_1..A_n$,
取 $O$ 点满足 $\angle A_1OA_2=\angle A_2OA_3=\cdots=\frac{2\pi}{n}$
那么对于任意点 $P$,有:

实际上这里的 $O$ 点就是费马点.

下面对该定理进行证明.

使用复数方法寻找凸多边形的费马点

一个有趣的数学问题的证明

对 $\forall n\in N^*$,试证:

一个有趣的数学问题的证明

另一种计算 π 的方法

可以证明:

也就是说一共有 $n+1$ 个根号。注意最外层根号里是减号,最内层为 $\sqrt{3}$.

另一种计算 π 的方法

由魔方问题引出的思考

证明以下内容后经群友提醒才确定这属于群论,那本文就当作是循环群的通俗解释吧.

对任意封闭体系内的元素进行互换位置的操作,
一定能在有限次操作后恢复到操作前的状态,
且这有限次操作的次数是可以计算的.

下面尝试给出其证明,若有误欢迎指出.

由魔方问题引出的思考

斐波那契数列通项公式推导

斐波那契数列(Fibonacci sequence),指数列:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 25, 38…
即后一项为前两项之和

我们不妨用 $\{a_n\}$ 表示斐波那契数列,那么有:

我们采用特征方程来推导通项公式.

斐波那契数列通项公式推导

欧拉恒等式 e^(iπ)+1=0 的证明

欧拉恒等式,即 $e^{i\pi}+1=0$,
被称为“最奇妙的数学公式”,
因为它把 5 个最基本的数学常数简洁地连系起来

下面给出关于欧拉恒等式我最喜欢的一种证明.

欧拉恒等式 e^(iπ)+1=0 的证明

圆面场强公式的积分推算

如图,真空中均匀带电且单位面积带电量为 $\sigma$ 的圆面垂直穿过直线 l,其半径为 R,圆面与直线恰为圆心. 直线 l 上距离圆心 x 距离处有一点 P. 试求 P 点处的场强大小.

圆面场强公式的积分推算

关于正弦函数的泰勒级数展开的证明

泰勒级数即无穷项泰勒多项式.

这是正弦函数的泰勒级数展开形式,下面使用多阶导对其推导方式作证明.

关于正弦函数的泰勒级数展开的证明

一种用物理方法求圆周率的证明

n 久前看到一个 3Blue1Brown 的视频 (该视频来自 BiliBili),挺有意思的

下面以文字的格式证明碰撞求 $\pi$

一种用物理方法求圆周率的证明