一道有趣的思考题：老鼠喝药水
题目很简单：你的面前有 100 瓶打乱了的药水，其中有且只有一瓶为毒药. 你有 7 只老鼠，喝了毒药的老鼠会死去，反之不会. 现请你利用这 7 只老鼠设计一种方案，根据老鼠的死活情况找出毒药.
假定每只老鼠可以喝下无限量的药水，且每瓶药水不会被喝完. 在方案实施的过程中，你无法得知当前的执行情况，也就是说，你不能根据前一只老鼠的死活决定后续的操作.
一道有趣的思考题：老鼠喝药水
为什么组合数是整数
组合数 $C_m^n={n \choose m}$ 为什么一定是整数？
我把这个问题当作一把量人的尺子：如果你斩钉截铁地回答“显然”，那我们大抵是没什么缘分的了；但如果你由此陷入了思考，那说明你属于我想结识的那类人.
「狄利克雷卷积」和「莫比乌斯反演」
狄利克雷卷积（Dirichlet Convolution）在解析数论中是一个非常重要的工具.
使用狄利克雷卷积可以很方便地推出莫比乌斯反演（Möbius Inversion）相关重要函数和公式，它在信息学竞赛和解析数论中至关重要.
很多初学者不能真正地理解莫比乌斯反演，或者说即使能使用最终的公式，也难以理清楚它是怎么推导的.
本文中，我将尝试使用一种新的方式讲解狄利克雷卷积和莫比乌斯反演，希望能对大家有所帮助.
「小学数学」求阴影部分面积
「离散傅里叶变换」和「离散傅里叶反变换」
离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）和离散傅里叶反变换（Inverse Discrete Fourier Transform, IDFT） 是鼎鼎大名的快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）的前置知识.
其中 FFT 用于加速两个多项式 $A(x)$、$B(x)$ 的乘积 $C(x)$ 的计算，DFT 和 IDFT 是 FFT 的两个中间步骤.
使用复数方法寻找凸多边形的费马点
费马点（Fermat’s point）又称托里切利点（Torricelli’s Point），
费马点 $O$ 是位于凸多边形内的一个点，
它满足到各顶点距离之和最小，
这样的点是存在且唯一的.
定理如下：
对于任意 $n$ 边形，其顶点为 $A_1..A_n$，
取 $O$ 点满足 $\angle A_1OA_2=\angle A_2OA_3=\cdots=\dfrac{2\pi}{n}$
那么对于任意点 $P$，有：
实际上这里的 $O$ 点就是费马点.
下面对该定理进行证明.
另一种计算 π 的方法
可以证明:
也就是说一共有 $n+1$ 个根号。注意最外层根号里是减号，最内层为 $\sqrt{3}$.
由魔方问题引出的思考
证明以下内容后经群友提醒才确定这属于群论，那本文就当作是循环群的通俗解释吧.
对任意封闭体系内的元素进行互换位置的操作，
一定能在有限次操作后恢复到操作前的状态，
且这有限次操作的次数是可以计算的.
下面尝试给出其证明，若有误欢迎指出.
斐波那契数列通项公式推导
斐波那契数列(Fibonacci sequence)，指数列：
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 25, 38…
即后一项为前两项之和
我们不妨用 $\{a_n\}$ 表示斐波那契数列，那么有：
我们采用特征方程来推导通项公式.
正弦函数的泰勒级数展开的证明
泰勒级数即无穷项泰勒多项式.
这是正弦函数的泰勒级数展开形式，下面使用多阶导对其推导方式作证明.