关于正弦函数的泰勒级数展开的证明

数学

泰勒级数即无穷项泰勒多项式.

这是正弦函数的泰勒级数展开形式,下面使用多阶导对其推导方式作证明.

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实际上,以下内容为泰勒公式中所取有任意阶导数的数值 $x_0$ 为 0 的情况,即麦克劳林级数.

目标

我们要用一个多项式来尽可能得逼近 $\sin x$ 函数.

其中一种方法(泰勒级数)就是保证该多项式在某个点的任意阶导数和原函数($\sin x$)在该点的对应阶导数值相等.

也就是说,原函数($\sin x$)在横坐标为 $x_0$ 的点可求任意阶导数,有如下等式(记 $\sin x = f(x)$,所求多项式函数为 $P(x)$):


推导

设所求多项式 $P(x)$ 为:

此处,我们取 $x_0=0$

(n = 0)

也就是不对两函数求导,取 $x=x_0=0$ 代入两式,由 $0 = c_0$,故 $c_0$ 为 0.


n = 1

取 $x=x_0=0$ 时,代入式中,得:

而 $P(x)$ 的一阶导为 $c_1+2c_2x+3c_3x^2+\cdots$.

取 $x=0$,得 $\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}x}(0)=c_1$

因 $\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}(0)=\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}x}(0)$,故 $c_1=1$


n = 2


n = 3


n = 4


n = 5

我们注意到:

四轮一个循环,故 $f(x)$ 的五阶导为 $\cos x$

易得,$P(x)$ 的五阶导取 $x=0$ 所得值为 $5!\cdot c_5$


同理可得


结论

我们已经解出了 $P(x)$ 各项的系数,分别为:

即:

完.

本文作者:Xecades

本文链接:https://blog.xecades.xyz/articles/TaylorPolynomialSine/

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