正弦函数的泰勒级数展开的证明

泰勒级数即无穷项泰勒多项式.

$$\sin x=\dfrac{x^1}{1!}-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dfrac{x^7}{7!}\cdots$$

这是正弦函数的泰勒级数展开形式，下面使用多阶导对其推导方式作证明.

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实际上，以下内容为泰勒公式中所取有任意阶导数的数值 $x_0$ 为 0 的情况，即麦克劳林级数.

目标

我们要用一个多项式来尽可能得逼近 $\sin x$ 函数.

其中一种方法（泰勒级数）就是保证该多项式在某个点的任意阶导数和原函数（$\sin x$）在该点的对应阶导数值相等.

也就是说，原函数（$\sin x$）在横坐标为 $x_0$ 的点可求任意阶导数，有如下等式（记 $\sin x = f(x)$，所求多项式函数为 $P(x)$）：

$$\forall n (n\in \mathbb{N}^*), \dfrac{\mathrm{d}^nf}{\mathrm{d}x^n}(x_0)=\dfrac{\mathrm{d}^nP}{\mathrm{d}x^n}(x_0)$$

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推导

设所求多项式 $P(x)$ 为：

$$P(x) = c_0 + c_1x + c_2x^2 + c_3x^3 + \cdots$$

此处，我们取 $x_0=0$

(n = 0)

也就是不对两函数求导，取 $x=x_0=0$ 代入两式，由 $0 = c_0$，故 $c_0$ 为 0.

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n = 1

$$\dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}(x) = (\sin x)' = \cos x$$

取 $x=x_0=0$ 时，代入式中，得：

$$\dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}(x_0)=\cos0=1$$

而 $P(x)$ 的一阶导为 $c_1+2c_2x+3c_3x^2+\cdots$.

取 $x=0$，得 $\dfrac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}x}(0)=c_1$

因 $\dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}(0)=\dfrac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}x}(0)$，故 $c_1=1$

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n = 2

$$\dfrac{\mathrm{d}^2f}{\mathrm{d}x^2}(x) = (\sin x)'' = (\cos x)' = -\sin x$$ $$\dfrac{\mathrm{d}^2f}{\mathrm{d}x^2}(0) = -\sin 0 = 0$$ $$\dfrac{\mathrm{d}^2P}{\mathrm{d}x^2}(x) = 1\times 2\cdot c_2+2\times3\cdot c_3x+3\times4\cdot c_4x^2+\cdots$$ $$\dfrac{\mathrm{d}^2P}{\mathrm{d}x^2}(0) = 2c_2$$ $$\dfrac{\mathrm{d}^2f}{\mathrm{d}x^2}(0) = \dfrac{\mathrm{d}^2P}{\mathrm{d}x^2}(0)$$ $$\Rightarrow c_2=0$$

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n = 3

$$\dfrac{\mathrm{d}^3f}{\mathrm{d}x^3}(x) = -\cos x$$ $$\dfrac{\mathrm{d}^3P}{\mathrm{d}x^3}(x) = 1\times2\times3\cdot c_3+2\times3\times4\cdot c_4x+3\times4\times5\times\cdot c_5x^2+\cdots$$ $$\dfrac{\mathrm{d}^3f}{\mathrm{d}x^3}(0) = \dfrac{\mathrm{d}^3P}{\mathrm{d}x^3}(0)$$ $$\Rightarrow -\cos0 = 1\times2\times3\cdot c_3$$ $$\Rightarrow c_3=-\dfrac{1}{6}$$

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n = 4

$$\dfrac{\mathrm{d}^4f}{\mathrm{d}x^4}(x) = \sin x$$ $$\dfrac{\mathrm{d}^4P}{\mathrm{d}x^4}(x) = 4!\cdot c_4+\dfrac{5!}{1!}\cdot c_5x+\dfrac{6!}{2!}\cdot c_6x^2+\cdots$$ $$\dfrac{\mathrm{d}^4f}{\mathrm{d}x^4}(0) = \dfrac{\mathrm{d}^4P}{\mathrm{d}x^4}(0)$$ $$\Rightarrow \sin0 = 4!\cdot c_4$$ $$\Rightarrow c_4=0$$

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n = 5

我们注意到：

$$(\sin x)' = \cos x, \cos0=1$$ $$(\cos x)' = -\sin x, -\sin0=0$$ $$(-\sin x)' = -\cos x, -\cos0=-1$$ $$(-\cos x)' = \sin x, \sin0=0$$

四轮一个循环，故 $f(x)$ 的五阶导为 $\cos x$

易得，$P(x)$ 的五阶导取 $x=0$ 所得值为 $5!\cdot c_5$

$$\cos 0 = 5!\cdot c_5$$ $$\Rightarrow c_5 = \dfrac{1}{5!}$$

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同理可得

$$c_6 = \dfrac{0}{6!} = 0$$ $$c_7 = \dfrac{-1}{7!} = -\dfrac{1}{7!}$$ $$\vdots$$

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结论

我们已经解出了 $P(x)$ 各项的系数，分别为：

$$0, \dfrac{1}{1!}, 0, -\dfrac{1}{3!}, 0, \dfrac{1}{5!}, 0\cdots$$

即：

$$\sin x\approx P(x)=\dfrac{x^1}{1!}-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dfrac{x^7}{7!}\cdots$$

完.