一种用物理方法求圆周率的证明

n 久前看到一个 3Blue1Brown 的视频 (该视频来自 BiliBili)，挺有意思的

下面以文字的格式证明碰撞求 $\pi$

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守恒

首先，我们揪出两个守恒量：

① 能量守恒：$\dfrac{1}{2}v_1^2m_1+\dfrac{1}{2}v_2^2m_2=\mathbf{const}$② 动量守恒：$m_1v_1+m_2v_2=\mathbf{const}$

值得注意的是，前者在任何情况下都是不会变的，而后者会在撞墙的时候发生变化，因为撞墙时速度反向，变为原来的相反数. 在其余时刻，后者是守恒的.

warning

所有接触面是绝对光滑的

我们看到式 ①：

$$\dfrac{1}{2}v_1^2m_1+\dfrac{1}{2}v_2^2m_2=\mathbf{const}$$

$m_1$、$m_2$ 都是定值，唯一 (二？) 的变量就是 $v_1$、$v_2$，自然，我们可以联想到椭圆方程，可以画出图像

这就和答案很接近了，为什么这样说呢？因为我们的目标是求出 $\pi$，有了椭圆，和圆很接近了嘛.

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We hunt for π!

所以我们缩放 x 轴和 y 轴，让它恰好成为一个圆

令 $x=\sqrt{m_1}v_1$，$y=\sqrt{m_2}v_2$，则式 ① 可以转换为：

$$\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{2}y^2=\mathbf{const}$$

即：

$$x^2+y^2=\mathbf{const}$$

怎么样？妥妥的圆方程.

式 ② 可以转化为：

$$\sqrt{m_1}x+\sqrt{m_2}y=\mathbf{const}$$

整理一下：

$$y=-\sqrt{\dfrac{m_1}{m_2}}x+\dfrac{\mathbf{const}}{\sqrt{m_2}}$$

想到了什么？

直线方程

斜率 $-\sqrt{\dfrac{m_1}{m_2}}$ 为定值

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画图

我们考虑一下初始情况：

题设中给出，$v_2=0$，$v_1=-1$

所以初始情况下，$x=-\sqrt{m_1}$，$y=0$，把它画在图上 (A 点)

注意到，每次撞击后对应的点 (不妨称之为 ”状态“) 一定在圆上 (式 ①)，而且状态的变化是突变型的，并不连续.

好了. 第一次，动量守恒和能量守恒同时满足，根据动量守恒 (式 ②)，初始状态和下一步的状态一定在斜率为 $-\sqrt{\dfrac{m_1}{m_2}}$ 的直线上.

这说明，下一步的状态一定会转移到 B 点：

然后呢？

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撞墙

$v_1$ 不变，$v_2$ 反转，则下一步状态 (C) 的 x 坐标不变，y 坐标关于 x 轴对称.

因为式 ② 的曲线的斜率为 $-\sqrt{\dfrac{m_1}{m_2}}$，为定值，所以 $\theta$ 角也为定值.

于是我们可以一直撞下去：

它什么时候停止呢？

很容易得到，$v_2>0$ 且 $v_2>v_1$ 时，停止运动.

所以我们画一条 $v_1=v_2$ 的直线，标记好停止运动的区域：

当状态进入阴影区域，不再撞击.

根据圆周角定理，每个 $\theta$ 角对应的弧长相等.

$$\underset{n个2\theta}{\underbrace{2\theta+2\theta+\cdots+2\theta}}<2\pi$$

即：

$$n\cdot\theta<\pi$$

n 是满足该式的最大整数，也就是我们要求的碰撞次数.

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Aha! Here goes π!

我们下一步的重点是求出 $\pi$.

不妨假设 $m_1:m_2=100:1$ (其余情况以此类推)

斜率 $-\sqrt{\dfrac{m_1}{m_2}}=-10$

则 $\tan\theta=\dfrac{1}{10}=0.1$

则 $\theta=\arctan(0.1)$

然后我们看看 $y=\arctan(x)$ 的图像：

（橘色的为 $y=x$，蓝色的为 $y=\arctan(x)$）

可见，当 $x$ 较小时，$\arctan(x)\approx x$

所以 $\theta\approx0.1$

代入 $n\cdot\theta<\pi$：

$n<10\pi\approx31.4$

则 $n_{\max}=31$

而且，质量比越大，撞击次数越多，求得的值越接近 $\pi$

Q.E.D

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可真是令人激动呢~