一种用物理方法求圆周率的证明

数学

n 久前看到一个 3Blue1Brown 的视频 (该视频来自 BiliBili),挺有意思的

下面以文字的格式证明碰撞求 $\pi$


守恒

首先,我们揪出两个守恒量:

① 能量守恒:$\frac{1}{2}v_1^2m_1+\frac{1}{2}v_2^2m_2=\mathbf{const}$
② 动量守恒:$m_1v_1+m_2v_2=\mathbf{const}$

值得注意的是,前者在任何情况下都是不会变的,而后者会在撞墙的时候发生变化,因为撞墙时速度反向,变为原来的相反数. 在其余时刻,后者是守恒的.

warning

所有接触面是绝对光滑的

我们看到式 ①:

$m_1$、$m_2$ 都是定值,唯一 (二?) 的变量就是 $v_1$、$v_2$,自然,我们可以联想到椭圆方程,可以画出图像

这就和答案很接近了,为什么这样说呢?因为我们的目标是求出 $\pi$,有了椭圆,和圆很接近了嘛.


We hunt for π!

所以我们缩放 x 轴和 y 轴,让它恰好成为一个圆

令 $x=\sqrt{m_1}v_1$,$y=\sqrt{m_2}v_2$,则式 ① 可以转换为:

即:

怎么样?妥妥的圆方程.

式 ② 可以转化为:

整理一下:

想到了什么?

直线方程

斜率 $-\sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$ 为定值


画图

我们考虑一下初始情况:

题设中给出,$v_2=0$,$v_1=-1$

所以初始情况下,$x=-\sqrt{m_1}$,$y=0$,把它画在图上 (A 点)

注意到,每次撞击后对应的点 (不妨称之为 ”状态“) 一定在圆上 (式 ①),而且状态的变化是突变型的,并不连续.

好了. 第一次,动量守恒和能量守恒同时满足,根据动量守恒 (式 ②),初始状态和下一步的状态一定在斜率为 $-\sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$ 的直线上.

这说明,下一步的状态一定会转移到 B 点:

然后呢?


撞墙

$v_1$ 不变,$v_2$ 反转,则下一步状态 (C) 的 x 坐标不变,y 坐标关于 x 轴对称.

因为式 ② 的曲线的斜率为 $-\sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$,为定值,所以 $\theta$ 角也为定值.

于是我们可以一直撞下去:

它什么时候停止呢?

很容易得到,$v_2>0$ 且 $v_2>v_1$ 时,停止运动.

所以我们画一条 $v_1=v_2$ 的直线,标记好停止运动的区域:

当状态进入阴影区域,不再撞击.

根据圆周角定理,每个 $\theta$ 角对应的弧长相等.

即:

n 是满足该式的最大整数,也就是我们要求的碰撞次数.


Aha! Here goes π!

我们下一步的重点是求出 $\pi$.

不妨假设 $m_1:m_2=100:1$ (其余情况以此类推)

斜率 $-\sqrt{\frac{m_1}{m_2}}=-10$

则 $\tan\theta=\frac{1}{10}=0.1$

则 $\theta=\arctan(0.1)$

然后我们看看 $y=\arctan(x)$ 的图像:

(橘色的为 $y=x$,蓝色的为 $y=\arctan(x)$)

可见,当 $x$ 较小时,$\arctan(x)\approx x$

所以 $\theta\approx0.1$

代入 $n\cdot\theta<\pi$:

$n<10\pi\approx31.4$

则 $n_{\max}=31$

而且,质量比越大,撞击次数越多,求得的值越接近 $\pi$

Q.E.D


可真是令人激动呢~

本文作者:Xecades

本文链接:https://blog.xecades.xyz/articles/PiInCollision/

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