可推广的尺规作图思想 - 以正五边形为例

数学

尺规作图 (Compass-and-straightedge) 是起源于古希腊的数学课题.
只使用圆规和直尺,并且只准许使用有限次,来解决不同的平面几何作图题.

  • 直尺必须没有刻度,无限长,且只能使用直尺的固定一侧. 只可以用它来将两个点连在一起,不可以在上画刻度.
  • 圆规可以开至无限宽,但上面亦不能有刻度. 它只可以拉开成你之前构造过的长度或一个任意的长度.
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尺规作正五边形有更简单的方法,此处使用正五边形为例只是叙述方便,实际上,这种方法可以作出正十七边形.

下面是尺规作正五边形的方法.


预备知识

若已知长度为 1 的线段 (不妨称之为单位线段). 尺规可作以下算式

两数之和 & 两数之差

无非就是把两条线段拼在一起,略.


两数之积

已知单位线段、长度为 a 的线段和长度为 b 的线段,作长度为 a $\times$b 的线段

  1. 随意做一个角 (顶点 O)
  2. 在一边上取单位线段 OA
  3. 在 A 点取一条长度为 a 的线段 AB
  4. 在该角的另一条边上以 O 点为端点、长度为 b 的线段 OC
  5. 连接 AC
  6. 作 AC 的平行线 BD,交线段 AB 于点 B

CD 即为所求.


两数之商

$a\div b = a\times\frac{1}{b}$


求倒数

已知单位线段和长度为 a 的线段,作长度为 $\frac{1}{a}$ 的线段

  1. 随意作一角,顶点为 O
  2. 在一条边上取长度为 a 的线段 OA
  3. 在 A 点取一条单位线段 AB
  4. 在该角另一条边处取单位线段 OC
  5. 连接 AC
  6. 作 AC 的平行线 BD,交线段 AB 于点 B

CD 即为所求.


求平方根

已知单位线段和长度为 a 的线段,作长度为 $\sqrt{a}$ 的线段

  1. 作一条单位线段 AC
  2. 作一条与单位线段水平的长度为 a 的线段 CB,构成线段 ACB (AB)
  3. 取线段 AB 中点 O
  4. 以 O 为圆心,AB 为直径作圆 O
  5. 过 C 点作 AB 的垂线段 CD,交圆 O 于点 D

CD 即为所求.


结论

任何可以用有限次加减乘除和开方运算表示出的实数,都能够用尺规作图作出.


正文

目标

假定我们已经有了一个正五边形,其外接圆半径为 1,将其画入复平面

连接 OB,过 B 点作实轴的垂线,垂足为 F

记 $\angle BOF = \theta$,则 $OF = \cos\theta$

不难看出,作出 OF,作正五边形的问题也就解决了

即用加减乘除和根号表示出 $\cos\theta$ ($\theta = 72^{\circ}$)


标号

不妨设 A 对应复数 $\varepsilon_0$,B 点对应 $\varepsilon_1$,以此类推,E 点对应 $\varepsilon_4$

可得出表达式:

因为 $\varepsilon_k$ 在单位圆上,故有以下众所周知的定理:

  1. $\varepsilon_k=\varepsilon_1^k$
  2. $\varepsilon_5=\varepsilon_1^5=\varepsilon_0=1$
  3. $\sum\limits_{k=0}^4\varepsilon_k=0$

推导

由定理 3 和定理 2 可得:

注意到 $\varepsilon_1+\varepsilon_4=\cos\theta+i\sin\theta+\cos\theta-i\sin\theta=2\cos\theta$

所以 $\cos\theta=\frac{1}{2}(\varepsilon_1+\varepsilon_4)$

令 $x_1=\varepsilon_1+\varepsilon_4$,$x_2=\varepsilon_2+\varepsilon_3$

则:

$x_1+x_2=\varepsilon_1+\varepsilon_2+\varepsilon_3+\varepsilon_4=-1$

我们得到了:

自然联想到韦达定理

$x_1,x_2$ 是方程 $x^2+x-1=0$ 的两个根

通过求根公式,我们可以得到

又因为 $x_1>0$,$x_2<0$

有 $x_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}=2\cos\theta$

则 $\cos\theta=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}$

完.


欣赏

高斯作正十七边形求出的 $\cos\frac{2\pi}{17}$:

本文作者:Xecades

本文链接:https://blog.xecades.xyz/articles/RegularPentagon/

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