尺规作图 (Compass-and-straightedge) 是起源于古希腊的数学课题.
只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题.
- 直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧. 只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度.
- 圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度. 它只可以拉开成你之前构造过的长度或一个任意的长度.
warning尺规作正五边形有更简单的方法，此处使用正五边形为例只是叙述方便，实际上，这种方法可以作出正十七边形.
下面是尺规作正五边形的方法.
预备知识
若已知长度为 1 的线段 (不妨称之为单位线段). 尺规可作以下算式
两数之和 & 两数之差
无非就是把两条线段拼在一起，略.
两数之积
已知单位线段、长度为 a 的线段和长度为 b 的线段，作长度为 a $\times$b 的线段
- 随意做一个角 (顶点 O)
- 在一边上取单位线段 OA
- 在 A 点取一条长度为 a 的线段 AB
- 在该角的另一条边上以 O 点为端点、长度为 b 的线段 OC
- 连接 AC
- 作 AC 的平行线 BD，交线段 AB 于点 B
CD 即为所求.
两数之商
$a\div b = a\times\dfrac{1}{b}$
求倒数
已知单位线段和长度为 a 的线段，作长度为 $\dfrac{1}{a}$ 的线段
- 随意作一角，顶点为 O
- 在一条边上取长度为 a 的线段 OA
- 在 A 点取一条单位线段 AB
- 在该角另一条边处取单位线段 OC
- 连接 AC
- 作 AC 的平行线 BD，交线段 AB 于点 B
CD 即为所求.
求平方根
已知单位线段和长度为 a 的线段，作长度为 $\sqrt{a}$ 的线段
- 作一条单位线段 AC
- 作一条与单位线段水平的长度为 a 的线段 CB，构成线段 ACB (AB)
- 取线段 AB 中点 O
- 以 O 为圆心，AB 为直径作圆 O
- 过 C 点作 AB 的垂线段 CD，交圆 O 于点 D
CD 即为所求.
结论
任何可以用有限次加减乘除和开方运算表示出的实数，都能够用尺规作图作出.
正文
目标
假定我们已经有了一个正五边形，其外接圆半径为 1，将其画入复平面
连接 OB，过 B 点作实轴的垂线，垂足为 F
记 $\angle BOF = \theta$，则 $OF = \cos\theta$
不难看出，作出 OF，作正五边形的问题也就解决了
即用加减乘除和根号表示出 $\cos\theta$ ($\theta = 72^{\circ}$)
标号
不妨设 A 对应复数 $\varepsilon_0$，B 点对应 $\varepsilon_1$，以此类推，E 点对应 $\varepsilon_4$
可得出表达式：
因为 $\varepsilon_k$ 在单位圆上，故有以下众所周知的定理：
- $\varepsilon_k=\varepsilon_1^k$
- $\varepsilon_5=\varepsilon_1^5=\varepsilon_0=1$
- $\sum\limits_{k=0}^4\varepsilon_k=0$
推导
由定理 3 和定理 2 可得：
注意到 $\varepsilon_1+\varepsilon_4=\cos\theta+i\sin\theta+\cos\theta-i\sin\theta=2\cos\theta$
所以 $\cos\theta=\dfrac{1}{2}(\varepsilon_1+\varepsilon_4)$
令 $x_1=\varepsilon_1+\varepsilon_4$，$x_2=\varepsilon_2+\varepsilon_3$
则：
$x_1+x_2=\varepsilon_1+\varepsilon_2+\varepsilon_3+\varepsilon_4=-1$
我们得到了：
自然联想到韦达定理
$x_1,x_2$ 是方程 $x^2+x-1=0$ 的两个根
通过求根公式，我们可以得到
又因为 $x_1>0$，$x_2<0$
有 $x_1=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}=2\cos\theta$
则 $\cos\theta=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}$
完.
欣赏
高斯作正十七边形求出的 $\cos\dfrac{2\pi}{17}$：
本文作者：Xecades
本文链接：https://blog.xecades.xyz/articles/RegularPentagon/
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