凛冬散尽,星河长明。

使用复数方法寻找凸多边形的费马点

费马点(Fermat’s point)又称托里切利点(Torricelli’s Point),
费马点 $O$ 是位于凸多边形内的一个点,
它满足到各顶点距离之和最小,
这样的点是存在且唯一的.

定理如下:

对于任意 $n$ 边形,其顶点为 $A_1..A_n$,
取 $O$ 点满足 $\angle A_1OA_2=\angle A_2OA_3=\cdots=\dfrac{2\pi}{n}$
那么对于任意点 $P$,有:

实际上这里的 $O$ 点就是费马点.

下面对该定理进行证明.

使用复数方法寻找凸多边形的费马点

一个有趣的数学问题的证明

对 $\forall n\in N^*$,试证:

一个有趣的数学问题的证明

可推广的尺规作图思想 - 以正五边形为例

尺规作图 (Compass-and-straightedge) 是起源于古希腊的数学课题.
只使用圆规和直尺,并且只准许使用有限次,来解决不同的平面几何作图题.

  • 直尺必须没有刻度,无限长,且只能使用直尺的固定一侧. 只可以用它来将两个点连在一起,不可以在上画刻度.
  • 圆规可以开至无限宽,但上面亦不能有刻度. 它只可以拉开成你之前构造过的长度或一个任意的长度.
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尺规作正五边形有更简单的方法,此处使用正五边形为例只是叙述方便,实际上,这种方法可以作出正十七边形.

下面是尺规作正五边形的方法.

可推广的尺规作图思想 - 以正五边形为例