Xecades's Neverland

使用复数方法寻找凸多边形的费马点

费马点（Fermat’s point）又称托里切利点（Torricelli’s Point），
费马点 $O$ 是位于凸多边形内的一个点，
它满足到各顶点距离之和最小，
这样的点是存在且唯一的.

定理如下：

对于任意 $n$ 边形，其顶点为 $A_1..A_n$，
取 $O$ 点满足 $\angle A_1OA_2=\angle A_2OA_3=\cdots=\dfrac{2\pi}{n}$
那么对于任意点 $P$，有：

$$\boxed{\sum_{k=1}^{n}|PA_k|\geq\sum_{k=1}^{n}|OA_k|}$$

实际上这里的 $O$ 点就是费马点.

下面对该定理进行证明.

可推广的尺规作图思想 - 以正五边形为例

尺规作图 (Compass-and-straightedge) 是起源于古希腊的数学课题.
只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题.

• 直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧. 只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度.
• 圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度. 它只可以拉开成你之前构造过的长度或一个任意的长度.

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尺规作正五边形有更简单的方法，此处使用正五边形为例只是叙述方便，实际上，这种方法可以作出正十七边形.

下面是尺规作正五边形的方法.