泰勒级数即无穷项泰勒多项式.
这是正弦函数的泰勒级数展开形式,下面使用多阶导对其推导方式作证明.
warning实际上,以下内容为泰勒公式中所取有任意阶导数的数值 $x_0$ 为 0 的情况,即麦克劳林级数.
目标
我们要用一个多项式来尽可能得逼近 $\sin x$ 函数.
其中一种方法(泰勒级数)就是保证该多项式在某个点的任意阶导数和原函数($\sin x$)在该点的对应阶导数值相等.
也就是说,原函数($\sin x$)在横坐标为 $x_0$ 的点可求任意阶导数,有如下等式(记 $\sin x = f(x)$,所求多项式函数为 $P(x)$):
推导
设所求多项式 $P(x)$ 为:
此处,我们取 $x_0=0$
(n = 0)
也就是不对两函数求导,取 $x=x_0=0$ 代入两式,由 $0 = c_0$,故 $c_0$ 为 0.
n = 1
取 $x=x_0=0$ 时,代入式中,得:
而 $P(x)$ 的一阶导为 $c_1+2c_2x+3c_3x^2+\cdots$.
取 $x=0$,得 $\dfrac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}x}(0)=c_1$
因 $\dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}(0)=\dfrac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}x}(0)$,故 $c_1=1$
n = 2
n = 3
n = 4
n = 5
我们注意到:
四轮一个循环,故 $f(x)$ 的五阶导为 $\cos x$
易得,$P(x)$ 的五阶导取 $x=0$ 所得值为 $5!\cdot c_5$
同理可得
结论
我们已经解出了 $P(x)$ 各项的系数,分别为:
即:
完.
本文作者:Xecades
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